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除数博弈


题目描述

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏,他们轮流行动。爱丽丝先手开局。最初,黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合,玩家需要执行以下操作:

  • 选出任一 x,满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
  • 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。

如果玩家无法执行这些操作,就会输掉游戏。只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True,否则返回 False。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1:

输入:2
输出:true
解释:爱丽丝选择 1,鲍勃无法进行操作。

示例 2:

输入:3
输出:false
解释:爱丽丝选择 1,鲍勃也选择 1,然后爱丽丝无法进行操作。

提示:

1 <= N <= 1000

归纳法

博弈类的问题常常让我们摸不着头脑。当我们没有解题思路的时候,不妨试着写几项试试:

  • N = 1 的时候,区间 (0, 1) 中没有整数是 n 的因数,所以此时 Alice 败。
  • N = 2 的时候,Alice 只能拿 1,N 变成 1,Bob 无法继续操作,故 Alice 胜。
  • N = 3 的时候,Alice 只能拿 1,N 变成 2,根据 N = 2 的结论,我们知道此时 Bob 会获胜,Alice 败。
  • N = 4 的时候,Alice 能拿 1 或 2,如果 Alice 拿 1,根据 N = 3 的结论,Bob 会失败,Alice 会获胜。
  • N = 5 的时候,Alice 只能拿 1,根据 N = 4 的结论,Alice 会失败。
  • ……

写到这里,也许你有了一些猜想。没关系,请大胆地猜想,在这种情况下大胆地猜想是 AC 的第一步。也许你会发现这样一个现象:N 为奇数的时候 Alice(先手)必败,N 为偶数的时候 Alice 必胜。 这个猜想是否正确呢?下面我们来想办法证明它。

证明

  1. N = 1 和 N = 2 时结论成立。
  2. N > 2 时,假设 N ≤ k 时该结论成立,则 N = k + 1 时:
    • 如果 k 为偶数,则 k + 1 为奇数,x 是 k + 1 的因数,只可能是奇数,而奇数减去奇数等于偶数,且 k + 1 - x ≤ k,故轮到 Bob 的时候都是偶数。而根据我们的猜想假设 N ≤ k 的时候偶数的时候先手必胜,故此时无论 Alice 拿走什么,Bob 都会处于必胜态,所以 Alice 处于必败态。
    • 如果 k 为奇数,则 k + 1 为偶数,x 可以是奇数也可以是偶数,若 Alice 减去一个奇数,那么 k + 1 - x 是一个小于等于 k 的奇数,此时 Bob 占有它,处于必败态,则 Alice 处于必胜态。

综上所述,这个猜想是正确的。

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bool divisorGame(int N) {
return N % 2 == 0;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:Ο(1)。
  • 空间复杂度:O(1)。

递推

上述方法中,我们写出了前面几项的答案,在这个过程中我们发现,Alice 处在 N = k 的状态时,他(她)做一步操作,必然使得 Bob 处于 N = m (m < k) 的状态。因此我们只要看是否存在一个 m 是必败的状态,那么 Alice 直接执行对应的操作让当前的数字变成 m,Alice 就必胜了,如果没有任何一个是必败的状态的话,说明 Alice 无论怎么进行操作,最后都会让 Bob 处于必胜的状态,此时 Alice 是必败的。

结合以上我们定义 f[i] 表示当前数字 i 的时候先手是处于必胜态还是必败态,true 表示先手必胜,false 表示先手必败,从前往后递推,根据我们上文的分析,枚举 i 在 (0, i) 中 i 的因数 j,看是否存在 f[i-j] 为必败态即可。

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public boolean divisorGame(int N) {
boolean[] dp = new boolean[N + 2];
dp[1] = false;
dp[2] = true;
for (int i = 3; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j < i; j++) {
if ((i % j == 0) && !dp[i - j]) {
dp[i] = true;
break;
}
}
}
return dp[N];
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:Ο(n²),递推的时候一共有 n 个状态要计算,每个状态需要 O(n) 的时间枚举因数。
  • 空间复杂度:O(n),我们需要 O(n) 的空间存储递推数组 f 的值。

来源

除数博弈 | 力扣(LeetCode)
除数博弈 | 题解(LeetCode)


文章标题:除数博弈
文章作者:cylong
文章链接:http://www.cylong.com/blog/2020/07/24/divisor-game/
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