前缀和解法实现区间和查询（LeetCode 303）

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题目描述

给定一个整数数组 nums，处理以下类型的多个查询:

计算索引 left 和 right （包含 left 和 right）之间的 nums 元素的和 ，其中 left <= right。

实现 NumArray 类：

• NumArray(int[] nums) 使用数组 nums 初始化对象
• int sumRange(int i, int j) 返回数组 nums 中索引 left 和 right 之间的元素的总和 ，包含 left 和 right 两点（也就是 nums[left] + nums[left + 1] + ... + nums[right] )

示例 1:

输入：
["NumArray", "sumRange", "sumRange", "sumRange"]
[[[-2, 0, 3, -5, 2, -1]], [0, 2], [2, 5], [0, 5]]
输出：
[null, 1, -1, -3]
解释：
NumArray numArray = new NumArray([-2, 0, 3, -5, 2, -1]);
numArray.sumRange(0, 2); // return 1 ((-2) + 0 + 3)
numArray.sumRange(2, 5); // return -1 (3 + (-5) + 2 + (-1))
numArray.sumRange(0, 5); // return -3 ((-2) + 0 + 3 + (-5) + 2 + (-1))

提示:

• 1 <= nums.length <= 10^4
• -10^5 <= nums[i] <= 10^5
• 0 <= i <= j < nums.length
• 最多调用 10*4 次 sumRange 方法

直接计算

最简单的思路，每次调用 sumRange() 时，直接遍历 left 到 right 的元素并求和。

class NumArray {

    private int[] nums;

    public NumArray(int[] nums) {
        this.nums = nums;
    }
    
    public int sumRange(int left, int right) {
        int sum = 0;
        for (int i = left; i <= right; i++) {
            sum += nums[i];
        }
        return sum;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(mn)，其中 m 为查询次数，n 为数组长度。
• 空间复杂度：O(1)，不考虑存储输入的数组。

前缀和

前缀和是一种高效处理区间求和问题的预处理技术，其核心思想是通过数学变换将区间求和转化为两个端点的差值计算。下面我们通过数学推导详细解释前缀和的工作原理。

步骤1：定义前缀和数组

给定数组 nums[0...n-1]，我们定义前缀和数组 prefix：

prefix[0] = 0
prefix[1] = nums[0]
prefix[2] = nums[0] + nums[1]
…
prefix[i] = nums[0] + nums[1] + ... + nums[i-1]
…
prefix[n] = nums[0] + ... + nums[n-1]

步骤2：区间和与前缀和的数学关系

考虑区间 [left, right] 的和：

sum(left, right)
= nums[left] + nums[left+1] + ... + nums[right]
= (nums[0] + ... + nums[left-1] + nums[left] + ... + nums[right]) - (nums[0] + ... + nums[left-1])
= prefix[right+1] - prefix[left]

class NumArray {

    private int[] prefix;

    public NumArray(int[] nums) {
        // 多一位存储0位置
        prefix = new int[nums.length + 1];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 递推关系：当前前缀和 = 前一个前缀和 + 当前元素
            prefix[i + 1] = prefix[i] + nums[i];
        }
    }
    
    public int sumRange(int left, int right) {
        return prefix[right + 1] - prefix[left];
    }
}

前缀和的核心优势

1. 查询高效化：将 O(n) 的求和操作转化为 O(1) 的差值计算。
2. 预处理思想：一次构建多次使用，特别适合查询密集型场景。
3. 数学简洁性：通过简单的数组差值实现复杂区间计算。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，初始化前缀和数组，其中 n 是数组长度。sumRange 是 O(1)。
• 空间复杂度：O(n)，存储前缀和数组。

来源

303. 区域和检索 - 数组不可变 | 力扣（LeetCode）

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