整除性质解数字和差值：数学优化实现（LeetCode 2894）

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题目描述

给你两个正整数 n 和 m 。现定义两个整数 num1 和 num2 ，如下所示：

num1：范围 [1, n] 内所有 无法被 m 整除 的整数之和。
num2：范围 [1, n] 内所有 能够被 m 整除 的整数之和。

返回整数 num1 - num2 。

示例 1:

输入：n = 10, m = 3
输出：19
解释：在这个示例中：
范围 [1, 10] 内无法被 3 整除的整数为 [1, 2, 4, 5, 7, 8, 10] ，num1 = 这些整数之和 = 37 。
范围 [1, 10] 内能够被 3 整除的整数为 [3, 6, 9] ，num2 = 这些整数之和 = 18 。
返回 37 - 18 = 19 作为答案。

示例 2:

输入：n = 5, m = 6
输出：15
解释：在这个示例中：
范围 [1, 5] 内无法被 6 整除的整数为 [1, 2, 3, 4, 5] ，num1 = 这些整数之和 = 15 。
范围 [1, 5] 内能够被 6 整除的整数为 [] ，num2 = 这些整数之和 = 0 。
返回 15 - 0 = 15 作为答案。

示例 3:

输入：n = 5, m = 1
输出：-15
解释：在这个示例中：
范围 [1, 5] 内无法被 1 整除的整数为 [] ，num1 = 这些整数之和 = 0 。
范围 [1, 5] 内能够被 1 整除的整数为 [1, 2, 3, 4, 5] ，num2 = 这些整数之和 = 15 。
返回 0 - 15 = -15 作为答案。

提示:

• 1 <= n, m <= 1000

普通遍历

最直观方法遍历 1 到 n 的每个数，分别累加能被 m 整除的数的和 sum_div 和不能整除的数的和 sum_non_div ，最后返回 sum_non_div - sum_div。

public int differenceOfSums(int n, int m) {
    int sum_div = 0;
    int sum_non_div = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (i % m == 0) {
            sum_div += i;
        } else {
            sum_non_div += i;
        }
    }

    return sum_non_div - sum_div;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，需遍历 1 到 n 的所有数。
• 空间复杂度：O(1)，仅使用常数空间。

数学公式

利用数学公式直接计算，避免遍历：

1. 总和：1 到 n 的和为 total = n * (n + 1) / 2。
2. 整除和：能被 m 整除的数形如 m, 2m, 3m, ..., km（其中 k = n / m），和为 m * (k * (k + 1) / 2)。
3. 差值：非整除和 - 整除和 = (total - sum_div) - sum_div = total - 2 * sum_div。

public int differenceOfSums(int n, int m) {
    // 计算 1 到 n 的总和
    long total = (long) n * (n + 1) / 2;
    // 计算可整除数的个数k
    int k = n / m;
    // 可整除数的和
    long divisibleSum = (long) m * k * (k + 1) / 2;
    // 返回差值
    return (int) (total - 2 * divisibleSum);
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(1)。
• 空间复杂度：O(1)。

来源

2894. 分类求和并作差 | 力扣（LeetCode）

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